如果你记得"文献里用三个轨道的原子极限，拿半满和半满减一去对比某个量随 J 的变化来讲洪特金属"——就是 de' Medici、Mravlje、Georges 那篇被称为 "Janus-faced"（两面神）的 PRL 以及配套综述。本文把那套论证完整整理出来。

零、先说结论，再说出处

出处（按重要性排序）：

  1. L. de' Medici, J. Mravlje, A. Georges, Janus-faced influence of the Hund's rule coupling in strongly correlated materials, Phys. Rev. Lett. 107, 256401 (2011). arXiv:1106.0815
  2. A. Georges, L. de' Medici, J. Mravlje, Strong electronic correlations from Hund's coupling, Annu. Rev. Condens. Matter Phys. 4, 137 (2013). arXiv:1207.3033 —— 第三节那张原子极限多重态表出自这里。
  3. L. de' Medici, Hund's metals, explained, Jülich 讲义（arXiv:1707.03282）—— 第五节"轨道通道封锁"的直观论证，讲得最清楚。

结论：那个"量"是原子极限的荷电隙（charge gap），

\[\Delta_{\mathrm{at}} = E_{\mathrm{at}}(N+1) + E_{\mathrm{at}}(N-1) - 2E_{\mathrm{at}}(N)\]

在 \(M\) 个等价轨道、每格点 \(N\) 个电子的体系里，它有两个符号相反的 J 依赖：

\[\Delta_{\mathrm{at}} = \begin{cases} U - 3J, & N \neq M \\ U + (M-1)J, & N = M \end{cases}\]

\(M=3\) 时：半满（N=3） 是 \(U + 2J\)，半满减一（N=2） 是 \(U - 3J\)。

  • 半满：J 把隙推大 → 更容易绝缘；
  • 半满减一：J 把隙压小 → 更偏向金属，但相干同时被压垮，于是变成坏金属。

同一个 J，两种相反的效应。这就是"两面神"。

一、模型：三个完全等价的能带

原文用的是一个尽量干净的最小模型：

  • 三个完全等价的能带——物理上对应立方对称下彼此简并的 \(t_{2g}\) 轨道（\(d_{xy}\)、\(d_{yz}\)、\(d_{zx}\)，即 \(M=3\)）；
  • 每条能带取半圆态密度，半带宽 \(D\)；
  • 每格点 \(N\) 个电子；
  • 相互作用取旋转不变的 Kanamori 形式。

\(M=3\) 时的两个关键填充：

填充 名称 说明
\(N=3\) 半满（half-filling） 每条轨道平均一个电子
\(N=2\) 半满减一 原子极限下是 \(S=1\) 的高自旋组态

选半圆态密度，是为了让"动能"这个量尽量不掺进具体能带结构的杂质；选三轨道，是因为 \(t_{2g}\) 恰好三重简并，又简单到能写出解析结果。

二、原子极限：把相互作用写成 N、S、L 的函数

这是整个论证的技术核心。先关掉所有跳跃（令 \(t = 0\)），只看孤立的单格点。对 \(M=3\)、立方对称的 \(t_{2g}\) 子空间，相互作用哈密顿量可以写成只依赖三个算符的漂亮形式：

\[\hat H_{\mathrm{int}} = \bar U \, \frac{\hat N(\hat N - 1)}{2} - 2J \vec S^2 - \frac{J}{2} \vec L^2, \qquad \bar U \equiv U - 3J\]

三个算符分别是：

  • \(\hat N\)：总电荷数（占据数）；
  • \(\vec S\)：总自旋；
  • \(\vec L\)：轨道角动量。这里有个细节：\(t_{2g}\) 中轨道角动量被部分淬灭，\(l\) 从 2 降到 1，所以 \(\vec L\) 遵循的就是 \(l=1\) 的角动量代数。

\(\bar U = U - 3J\) 这个组合必须记住：多轨道体系里真正起排斥作用的是被洪特耦合削减过的 \(\bar U\)。\(J\) 越大，\(\bar U\) 越小。

于是本征能量随手可写：

\[E(N, S, L) = \bar U \, \frac{N(N-1)}{2} - 2J\, S(S+1) - \frac{J}{2}\, L(L+1)\]

读法：第一项是电荷能，后两项是"奖励项"——\(S\) 或 \(L\) 越大，能量越低。洪特第一规则（自旋取最大）对应 \(-2J\vec S^2\) 这一项，洪特第二规则（\(S\) 定下后 \(L\) 最大）对应 \(-\frac{J}{2}\vec L^2\)。

上面这个形式并非"看出来"的，而是可以从 Kanamori 五项一步步推出来的。推导过程与每一步的算术见文末附录。

三、三轨道原子极限的完整多重态表

把上式对 \(t_{2g}\)（\(M=3\)）所有可能的 \((N,S,L)\) 枚举一遍，就得到下面这张表（引自综述，\(\bar U \equiv U-3J\)；★ 标记 \(J>0\) 时的基态多重态）：

\(N\) \(S\) \(L\) 简并度 \((2S+1)(2L+1)\) 能量 \(J>0\) 基态
0 0 0 1 0 ★
1 1/2 1 6 \(-\frac{5}{2}J\) ★
2 1 1 9 \(\bar U - 5J\) ★
2 0 2 5 \(\bar U - 3J\)
2 0 0 1 \(\bar U\)
3 3/2 0 4 \(3\bar U - \frac{15}{2}J\) ★
3 1/2 2 10 \(3\bar U - \frac{9}{2}J\)
3 1/2 1 6 \(3\bar U - \frac{5}{2}J\)

（\(N=4,5,6\) 的多重态是 \(N=2,1,0\) 的粒子—空穴共轭，基态能量分别为 \(6\bar U - 5J\)、\(10\bar U - \frac{5}{2}J\)、\(0\)，这里省略。）

从表里要读出三件事

  1. \(N=1\)（单占据）：J 完全不改变基态简并度。 基态始终是 \(S=1/2,\ L=1\)，6 重简并，与 \(J\) 取值无关。
  2. \(N=2\)（半满减一）：基态简并度被 J 压低，从 15 降到 9。 \(J=0\) 时 \((S=1,L=1)\)、\((S=0,L=2)\)、\((S=0,L=0)\) 三个多重态全简并，共 \(9+5+1=15\) 重；\(J>0\) 后 \(-2J\vec S^2\) 把 \(S=1\) 那个挑出来当基态，只剩 9 重。
  3. \(N=3\)（半满）：基态简并度被压得更狠，从 20 降到 4。 \(J=0\) 时 \(4+10+6=20\) 重简并；\(J>0\) 后 \(S=3/2\)、\(L=0\) 的高自旋四重态独占基态。

第 2、3 条就是后面"相干被压垮"的根源：洪特耦合把原子基态的多重态简并度砍掉了一大截，而简并度正是 Kondo 屏蔽的能量来源。

四、核心一步：荷电隙在两种填充下反向

现在算原子极限的荷电隙——把两个格点之间搬一个电子所需的最小能量：

\[\Delta_{\mathrm{at}} = E_{\mathrm{at}}(N+1) + E_{\mathrm{at}}(N-1) - 2E_{\mathrm{at}}(N)\]

其中 \(E_{\mathrm{at}}(n)\) 是 \(n\) 个电子时的原子基态能量，直接查上表。

半满减一（N=2）

查表：\(E(3) = 3\bar U - \frac{15}{2}J\)，\(E(1) = -\frac{5}{2}J\)，\(E(2) = \bar U - 5J\)。代入：

\[\Delta_{\mathrm{at}} = \left(3\bar U - \frac{15}{2}J\right) + \left(-\frac{5}{2}J\right) - 2\left(\bar U - 5J\right) = \bar U = U - 3J\]

半满（N=3）

此时 \(N+1=4\)，用粒子—空穴共轭得 \(E(4) = 6\bar U - 5J\)；\(N-1=2\) 取基态 \(E(2) = \bar U - 5J\)；\(E(3) = 3\bar U - \frac{15}{2}J\)。代入：

\[\Delta_{\mathrm{at}} = \left(6\bar U - 5J\right) + \left(\bar U - 5J\right) - 2\left(3\bar U - \frac{15}{2}J\right) = \bar U + 5J = U + 2J\]

对比

填充 \(\Delta_{\mathrm{at}}\) \(J\) 的作用
半满减一（\(N=2\)） \(U - 3J\) 隙被压小，J 抑制绝缘
半满（\(N=3\)） \(U + 2J\) 隙被推大，J 促进绝缘

一般地，对 \(M\) 个轨道：

\[\Delta_{\mathrm{at}} = \begin{cases} U - 3J, & N \neq M \\ U + (M-1)J, & N = M \end{cases}\]

盯住 \(-3J\) 与 \(+(M-1)J\) 这两个系数：\(M=3\) 时就是 \(-3J\) 对 \(+2J\)。"半满和半满减一时某个量随 J 反向变化"说的正是它。

物理上很好理解：半满壳层有最多的"备用自旋"可以对齐来赚交换能，所以它与其它电荷区的能量距离随 J 拉大；而非半满时，起到降低系统能量作用的是 \(\bar U = U-3J\) 这个被削减的排斥，J 越大，加/减一个电子的代价越小。

五、把跳跃加回来：J 怎么"锁死"轨道通道

原子极限只说明隙有多大，而 Mott 转变还取决于跳跃能把能带展多宽。de' Medici 讲义给了一个极直观的论证，先用最简单的两轨道半满（每轨道一个电子）说明。

\(J=0\) 时：一个格点上放 2 个电子，所有 6 种组态全部简并。这意味着额外加进来的一个电子（比如在轨道 1 上）想离域，有两条路：

  • 沿轨道 1 的通道跳走；
  • 沿轨道 2 的通道跳走——因为跳走之后留下的那个格点组态（一条轨道双占据、另一条空着）在 \(J=0\) 时与基态组态能量相同，不需要额外代价。

结果：荷电激发能借助多轨道自由度在更宽的能量范围内离域，Hubbard 带被展宽到 \(\sim \sqrt{M}\,W\)（\(M\) 为轨道数）。带越宽，Mott 隙越容易被抹平。

\(J>0\) 时：简并被解除，只剩高自旋组态是基态。此时额外电子若从"别的通道"跳走，留下的组态（某轨道双占据）能量已高于基态——跳不动了。于是额外电子只能沿自己那一条通道离域，Hubbard 带宽度缩回 \(\sim W\)。

J 在这里的角色叫"轨道解耦器"（orbital decoupler）：它关掉了大部分跳跃通道。

把两端接起来，Mott 隙大致为

\[\Delta_{\mathrm{Mott}} \simeq \Delta_{\mathrm{at}} - W\]

  • 半满：\(\Delta_{\mathrm{at}} = U + (M-1)J\)，于是 \(U_c \simeq W - (M-1)J\)，随 J 线性下降（\(M=3\) 时 \(U_c \simeq W - 2J\)）；
  • 非半满：\(\Delta_{\mathrm{at}} = U - 3J\)，于是 \(U_c \simeq W + 3J\)，随 J 线性上升。

综述把它写成更一般的形式：

\[U_c = \tilde W_{M,N}(J) + 3J \quad (N \neq M), \qquad U_c = \tilde W_{M,M}(J) - (M-1)J \quad (N = M)\]

大 \(J\) 下 \(\tilde W\) 趋于有限值 \(\tilde W^{\infty}\)，于是

\[U_c \sim \tilde W^{\infty} + 3J \quad (N \neq M), \qquad U_c \sim \tilde W^{\infty} - (M-1)J \quad (N = M)\]

但要注意 \(\tilde W\) 自己也依赖 J，因为封锁轨道通道会减少可用动能。所以一般填充下 \(U_c(J)\) 是非单调的：

  • 小 J：动能被压制的效应占主导 → \(U_c\) 下降；
  • 大 J：原子 \(\bar U = U - 3J\) 的减小占主导 → \(U_c\) 回升。

综述特别指出：把上面那两条直线外推到 \(J=0\)，会明显低于真实的 \(U_c(J=0)\)，只有单电子 \(N=1\) 是例外——因为 \(N=1\) 时 J 既不改变基态简并度，也不封锁通道。

六、一张总表：J 对不同填充的影响

PRL 里的 Table I 把上述所有情形归纳得很干净：

\(N\) 电子占据 \(M\) 个轨道 原子基态简并度 Mott 隙 关联强度 J 促进的行为
单电子或单空穴（\(N=1,\,2M-1\)） 不变 减小 减弱 金属
半满（\(N=M\)） 减小 增大 增强 绝缘体
其他所有情况（\(N \neq 1,\,M,\,2M-1\)） 减小 减小 相互冲突 坏金属

读法：只有三种命运——单占据时 J 帮你当个好金属，半满时 J 推你去绝缘，其余全部填充 J 都在制造坏金属。

"半满减一"落在第三行，是它最微妙的地方：它的 Mott 隙也被 J 减小（和 \(N=1\) 一样），但它的关联强度却是被 J 增强的（和 \(N=M\) 一样）。两股力量方向相反，结果就是"还是金属，但烂得厉害"。

七、为什么半满减一是坏金属，而单电子不是

两者的 \(\Delta_{\mathrm{at}}\) 完全一样（都是 \(U - 3J\)），\(U_c\) 也都随 J 上升。差别出在相干上。

相干尺度就是有效杂质模型的 Kondo 温度 \(T^*\)：低于它，原子多重态被导电子屏蔽掉，体系进入费米液体；高于它，你看到的是一堆缓慢涨落的局域矩在散射电子。

Kondo 温度被两件事同时打击。

1. J 破坏了轨道简并带来的"增强效应"

\(J=0\) 时体系具有 \(SU(2M)\) 对称性，自旋与轨道自由度都能参与交换，Kondo 温度会被轨道简并度增强（Coqblin–Schrieffer 结果）：

\[\frac{T_{K,M}^{J=0}}{D} = \exp\left(-\frac{1}{2M\rho J_K}\right) = \left(\frac{T_{K,1}}{D}\right)^{1/M}\]

（\(\rho\) 是每轨道每自旋的导带态密度，\(D\) 是能量截断。）一旦 \(J \neq 0\)，对称性破缺到 \(SU(2)_S \otimes SU(M)_O\)，这份增强就没了。

2. 高自旋态本身的 Kondo 耦合被削弱

对自旋为 \(S\) 的杂质，有效 Kondo 耦合按

\[J_{K,\mathrm{eff}} \propto \frac{1}{S}\]

衰减（Schrieffer 1967）。而 \(T_K\) 对 \(J_K\) 是指数依赖，所以 \(T_K\) 随 \(S\) 指数下降。

把这两条与第三节"简并度被砍"的结论合起来：

填充 原子基态 J 对简并度的影响 相干
\(N=1\) \(S=1/2\)，6 重 无影响 好金属
\(N=2\) \(S=1\)，9 重 从 15 降到 9 相干尺度被指数压低 → 坏金属
\(N=3\) \(S=3/2\)，4 重 从 20 降到 4 相干尺度极低，U 稍大即绝缘

数值感受一下：三轨道、\(N=2\)、\(J/U = 0.15\) 时，\(Z \sim 0.1\) 对应 \(T^* \sim 50\ \mathrm{K}\)；\(Z \lesssim 0.05\) 对应 \(T^* \lesssim 20\ \mathrm{K}\)。几十 K 的相干温度意味着室温附近完全处于非相干区——测出来就是电阻率 \(T\) 线性、磁化率居里型的"坏金属"。

八、相图长什么样

PRL 把准粒子权重 \(Z\) 画成 \(U/D\) 与填充数的等高图（取 \(J/U = 0.15\)，填充从空到满共 6 个电子）：

  • \(N=2\) 附近有一大片暗区（小 \(Z\)，坏金属），横跨很宽的 \(U\) 范围；
  • \(N=3\)（半满） 在弱 \(U\) 下是金属，\(U\) 稍大就整片绝缘；
  • \(N=1\) 基本始终是好金属。

这就把洪特金属与 Mott 物理的关系摆清楚了：洪特金属紧邻半满的 Mott 绝缘体，但它不必靠近 Mott 转变就已经是强关联——控制参数是 \(J\) 与填充，而不是单纯"离 Mott 有多近"。

顺带解释了两个长期令人困惑的现象：为什么 \(4d\) 的钌氧化物 \(U\) 那么小、有效质量却那么重（\(t_{2g}^4\) 即两空穴，正落在坏金属区），以及为什么铁基超导母体是金属而不是 Mott 绝缘体（填充偏离半满，J 只在制造坏金属）。

九、一句话总结

三轨道原子极限的多重态表里藏着洪特金属的全部逻辑：\(\hat H_{\mathrm{int}} = \bar U \hat N(\hat N-1)/2 - 2J\vec S^2 - \frac{J}{2}\vec L^2\)。洪特耦合一边把 \(\bar U\) 削成 \(U-3J\)（使非半满的荷电隙变小、更难绝缘），一边把原子基态的简并度砍掉、把跳跃通道锁死、把有效 Kondo 耦合按 \(1/S\) 削弱（使相干尺度指数崩塌）。在半满它推你去绝缘，在半满减一它让你变成坏金属——同一个 J，两种相反的作用，这就是"两面神"。

附录：N、S、L 形式的原子极限哈密顿量是怎么推出来的

第二节那个

\[\hat H_{\mathrm{int}} = \bar U\frac{\hat N(\hat N-1)}{2} - 2J\vec S^2 - \frac{J}{2}\vec L^2\]

并非"看出来"的，而是可以从 Kanamori 五项一步步推出来。下面把它补全。出处是综述里紧接 Kanamori 定义之后的那一段，两轨道情形的逐条恒等式在该文附录 A。

A.1 起点与生成元

Kanamori 哈密顿量（三条简并的 \(t_{2g}\) 轨道）：

\[H_{\mathrm{K}} = U\sum_m n_{m\uparrow}n_{m\downarrow} + U'\sum_{m\neq m'} n_{m\uparrow}n_{m'\downarrow} + (U'-J)\sum_{m<m',\sigma} n_{m\sigma}n_{m'\sigma} - J\,\mathcal{X} + J\,\mathcal{P}\]

后面两个算符分别是自旋翻转与配对跳跃：

\[\mathcal{X} = \sum_{m\neq m'} d^{\dagger}_{m\uparrow}d_{m\downarrow}\,d^{\dagger}_{m'\downarrow}d_{m'\uparrow}, \qquad \mathcal{P} = \sum_{m\neq m'} d^{\dagger}_{m\uparrow}d^{\dagger}_{m\downarrow}\,d_{m'\downarrow}d_{m'\uparrow}\]

再定义三个生成元：

\[\hat N = \sum_{m\sigma} n_{m\sigma}, \qquad \vec S = \frac{1}{2}\sum_m\sum_{\sigma\sigma'} d^{\dagger}_{m\sigma}\vec\tau_{\sigma\sigma'}d_{m\sigma'}, \qquad L_m = i\sum_{m'm''}\sum_{\sigma} \epsilon_{mm'm''}\,d^{\dagger}_{m'\sigma}d_{m''\sigma}\]

\(\vec L\) 的定义是理解全局的钥匙：它用 Levi-Civita 张量写出，也就是 SO(3) 的定义表示（\(3\times 3\) 反对称矩阵），等价于一个 \(l=1\) 的角动量。物理来源是立方晶体场里 \(t_{2g}\) 的轨道角动量被部分淬灭，从原子的 \(l=2\) 降到有效的 \(l=1\) —— 只有这样才能把 \(\vec L^2\) 当成好量子数来用。

A.2 关键技巧：先把耦合"拆开"

最容易被忽略的一步在这里：不要一上来就代入 \(U' = U-2J\)、\(J_X = J_P = J\)，而要先把三个耦合当成互相独立的参数，写成"广义 Kanamori"：

\[H_{\mathrm{GK}} = U\sum_m n_{m\uparrow}n_{m\downarrow} + U'\sum_{m\neq m'} n_{m\uparrow}n_{m'\downarrow} + (U'-J)\sum_{m<m',\sigma} n_{m\sigma}n_{m'\sigma} - J_X\,\mathcal{X} + J_P\,\mathcal{P}\]

为什么要这样："哈密顿量只依赖 \(N\)、\(\vec S^2\)、\(\vec L^2\)"这件事不是自动成立的，它要满足条件才成立（原文称之为 rotational invariance，即 \(U(1)_C\otimes SU(2)_S\otimes SO(3)_O\) 对称）。拆开之后，才能看出条件到底是什么。

A.3 用生成元重写

把五项代进去、用算符恒等式归并，\(t_{2g}\) 的结果是

\[H_{\mathrm{GK}} = \frac{3U'-U}{4}\hat N(\hat N-1) + (U'-U)\vec S^2 + \frac{U'-U+J}{2}\vec L^2 + \left(\frac{7U}{4}-\frac{7U'}{4}-J\right)\hat N + \big(U'-U+J+J_P\big)\mathcal{P} + \big(J-J_X\big)\mathcal{X}\]

前四项已经化成了 \(\hat N\) 的多项式与 \(\vec S^2\)、\(\vec L^2\) 的组合，但最后两项还没消掉。要让它真的只依赖三个不变量，必须

\[J_X = J, \qquad J_P = U - U' - J\]

"归并"具体怎么做：核心是生成元的完备性。综述附录 A 把两轨道情形的五条恒等式完整列出，作为示范（\(T_{x,y,z}\) 是两轨道情形的轨道同位旋，即把 \(\vec\tau\) 放在轨道指标上）：

\[\sum_m n_{m\uparrow}n_{m\downarrow} = \frac{\hat N^2}{4} + T_z^2 - \frac{\hat N}{2}\]

\[\sum_{m\neq m'} n_{m\uparrow}n_{m'\downarrow} = -S_z^2 - T_z^2 + \frac{\hat N}{2}\]

\[\sum_{m<m',\sigma} n_{m\sigma}n_{m'\sigma} = \frac{\hat N^2}{4} + S_z^2 - \frac{\hat N}{2}\]

\[\sum_{m\neq m'} d^{\dagger}_{m\uparrow}d_{m\downarrow}\,d^{\dagger}_{m'\downarrow}d_{m'\uparrow} = \frac{\vec S^2 - \vec T^2}{2} + T_z^2 - S_z^2\]

\[\sum_{m\neq m'} d^{\dagger}_{m\uparrow}d^{\dagger}_{m\downarrow}\,d_{m'\downarrow}d_{m'\uparrow} = T_x^2 - T_y^2\]

外加完备性关系

\[(\hat N - 2)^2 + 2\vec S^2 + 2\vec T^2 = 4\]

三条密度—密度项分别化出 \(\hat N^2\)、\(S_z^2\)、\(T_z^2\)；自旋翻转项化出 \(\vec S^2 - \vec T^2\)；配对跳跃项化出 \(T_x^2 - T_y^2\)。全部代进 \(H_{\mathrm{GK}}\) 再收集同类项，就得到上面的形式。\(t_{2g}\) 是同一套手续，只是把两轨道的 \(\vec T\) 换成 \(l=1\) 的 \(\vec L\)。

可以自己验一条：取自旋一上一下、分处两个轨道的态，自旋翻转那条恒等式的两边给出同一个结果。

A.4 代入物理条件，得到最终形式

物理的 \(t_{2g}\) Kanamori 要求三个耦合绑在一起：\(J_X = J_P = J\)。把它代进 A.3 的消项条件，就逼出

\[U' = U - 2J\]

于是逐项代入：

项 一般系数 代入 \(U'=U-2J\)、\(J_X=J_P=J\)
\(\hat N(\hat N-1)\) \((3U'-U)/4\) \((U-3J)/2\)
\(\vec S^2\) \(U'-U\) \(-2J\)
\(\vec L^2\) \((U'-U+J)/2\) \(-J/2\)
\(\hat N\) \(7U/4 - 7U'/4 - J\) \(5J/2\)
\(\mathcal{P}\) \(U'-U+J+J_P\) \(0\)
\(\mathcal{X}\) \(J-J_X\) \(0\)

得到

\[H_{t_{2g}} = (U-3J)\frac{\hat N(\hat N-1)}{2} - 2J\vec S^2 - \frac{J}{2}\vec L^2 + \frac{5}{2}J\hat N\]

A.5 多出来的那项 \(5J\hat N/2\)

正文第三、四节用的哈密顿量里没有这一项，原因有两个：

  1. 它正比于 \(\hat N\)，在固定 \(N\) 的原子极限下只是个常数，不改变多重态结构；
  2. 更关键的是，它在荷电隙里严格抵消：

\[\frac{5}{2}J\big[(N+1) + (N-1) - 2N\big] = 0\]

所以带不带它，\(\Delta_{\mathrm{at}}\) 都还是 \(U-3J\) 与 \(U+2J\)。（PRL 的方程确实给了带与不带两个版本。）

A.6 \(U' = U-2J\) 是哪里来的

不是假设，而是球形对称加上 \(t_{2g}\) 波函数给出的 Slater/Racah 关系：

\[U = F^0 + \frac{4}{49}F^2 + \frac{4}{49}F^4 = A + 4B + 3C\]

\[U' = F^0 - \frac{2}{49}F^2 - \frac{4}{441}F^4 = A - 2B + C = U - 2J\]

\[J = \frac{3}{49}F^2 + \frac{20}{441}F^4 = 3B + C\]

代一下即可验证：\((A+4B+3C) - 2(3B+C) = A - 2B + C\)。也就是说，立方对称本身就隐含了 \(U' = U-2J\)，物理的 Kanamori 哈密顿量因而自动是旋转不变的。

A.7 一个旁证：\(\vec L^2\) 项为什么会出现

看 A.3 里 \(\vec L^2\) 的系数 \(\frac{1}{2}(U'-U+J)\) —— 它完全由 \(U'\) 决定：

  • 取 \(U' = U - 2J\)（\(t_{2g}\)，立方对称）：系数为 \(-J/2\)，\(\vec L^2\) 项存在；
  • 取 \(U' = U - J\)（Dworin–Narath 模型，球对称、轨道数任意）：系数为 \(0\)，\(\vec L^2\) 项消失，哈密顿量退化成

\[H_{\mathrm{DN}} = \left(U - \frac{3}{2}J\right)\frac{\hat N(\hat N-1)}{2} - J\vec S^2 + \frac{3}{4}J\hat N\]

两条路都满足旋转不变，区别只在 \(U'\) 的取值。这正说明 \(\vec L^2\) 项不是凭空冒出来的，而是 \(U' = U-2J\) 的直接后果。

A.8 小结

\[H = \bar U\frac{\hat N(\hat N-1)}{2} - 2J\vec S^2 - \frac{J}{2}\vec L^2, \qquad \bar U \equiv U - 3J\]

洪特规则直接写在脸上：\(-2J\vec S^2\) 奖励大 \(S\)（第一规则），\(-\frac{J}{2}\vec L^2\) 在 \(S\) 最大的前提下奖励大 \(L\)（第二规则）；而 \(\bar U = U-3J\) 是被洪特耦合削减过的库仑排斥——正文第四节"非半满时隙变成 \(U-3J\)"的来源就是它。

参考文献

  1. L. de' Medici, J. Mravlje, A. Georges, Janus-faced influence of the Hund's rule coupling in strongly correlated materials, Phys. Rev. Lett. 107, 256401 (2011). DOI · arXiv:1106.0815 —— 本文第一、四、六节的直接来源。
  2. A. Georges, L. de' Medici, J. Mravlje, Strong electronic correlations from Hund's coupling, Annu. Rev. Condens. Matter Phys. 4, 137 (2013). DOI · arXiv:1207.3033 —— 第三节的多重态表、第五节 \(U_c(J)\) 公式与第七节的 Kondo 结果。
  3. L. de' Medici, Hund's metals, explained, in The Physics of Correlated Insulators, Metals, and Superconductors, Modeling and Simulation Vol. 7, Forschungszentrum Jülich (2017). arXiv:1707.03282 —— 第五节"轨道通道封锁"的直观论证。
  4. L. de' Medici, Hund's coupling and its key role in tuning multiorbital correlations, Phys. Rev. B 83, 205112 (2011). DOI
  5. P. Werner, E. Gull, M. Troyer, A. J. Millis, Spin Freezing Transition and Non-Fermi-Liquid Self-Energy in a Three-Orbital Model, Phys. Rev. Lett. 101, 166405 (2008). DOI —— "自旋冻结"与非相干区。
  6. J. R. Schrieffer, The Kondo Effect—The Link Between Magnetic and Nonmagnetic Impurities in Metals?, J. Appl. Phys. 38, 1143 (1967). DOI —— \(J_{K,\mathrm{eff}} \propto 1/S\)。
  7. B. Coqblin, J. R. Schrieffer, Exchange Interaction in Alloys with Cerium Impurities, Phys. Rev. 185, 847 (1969). DOI —— \(SU(2M)\) Kondo 模型，以及轨道简并对 \(T_K\) 的增强作用。
  8. J. Kanamori, Electron Correlation and Ferromagnetism of Transition Metals, Prog. Theor. Phys. 30, 275 (1963). DOI —— Kanamori 相互作用形式的原始文献，附录推导的出发点。
  9. L. Dworin, A. Narath, Orbital Paramagnetism of Localized Nonmagnetic Impurities in Metals, Phys. Rev. Lett. 25, 1287 (1970). DOI —— 附录 A.7 用来作对照的 Dworin–Narath 模型。
  10. S. Sugano, Y. Tanabe, H. Kamimura, Multiplets of Transition-Metal Ions in Crystals, Pure and Applied Physics 系列（Academic Press, New York, 1970）. —— 附录 A.6 的 Slater/Racah 关系与多重态分类。

这篇与前面两篇构成一条线：《DMFT动力学平均场理论入门》讲怎么算，《洪特耦合与洪特金属》讲物理图像，这篇讲文献里那个能"一眼看穿"的原子极限论证。若有错误欢迎指出。