DMFT动力学平均场理论入门

本站第一篇正式的技术笔记。用一页篇幅把 DMFT 的来龙去脉讲清楚：它为什么被发明、核心近似是什么、自洽循环怎么转、以及它在实际计算里处在什么位置。

一、为什么要 DMFT

密度泛函理论（DFT/LDA）把电子之间的相互作用压缩成一个静态的交换关联势，对弱关联体系极为成功。但遇到强关联体系就会栽跟头：

Mott 绝缘体：LDA 算出金属，实验却是绝缘体（NiO、MnO 是经典例子）。相互作用把电子"钉"在格点上，LDA 描述不了。
准粒子权重与有效质量：实验测到的有效质量可以是能带值的几十倍，LDA 的能带太"轻"。
谱函数的多峰结构：光电子谱里出现的下 Hubbard 带、上 Hubbard 带、准粒子峰，LDA 完全没有。

根源在于：关联效应本质上是"动力学"的，即依赖于频率（时间）；而 LDA 给出的只是一个静态平均场。要描述它，就必须让自能带上频率依赖。

二、起点：Hubbard 模型

单轨道 Hubbard 模型是研究强关联时最小、也最核心的模型：

\[H = -t \sum_{\langle ij \rangle \sigma} \left( c^{\dagger}_{i\sigma} c_{j\sigma} + \mathrm{h.c.} \right) + U \sum_i n_{i\uparrow} n_{i\downarrow} - \mu \sum_{i\sigma} n_{i\sigma}\]

第一项：电子在近邻格点间的跳跃，给出能带，带宽 \(W \sim 2zt\)（\(z\) 是配位数）
第二项：同一格点上两个电子之间的库仑排斥 \(U\)
第三项：化学势，控制填充数

物理全在 \(U/W\) 这个比值里：

\(U/W\)	物理图像
\(\ll 1\)	弱关联，能带图像基本成立
\(\sim 1\)	强关联，需要专门方法
半满 + 大 \(U\)	Mott 绝缘体，电荷被锁住但自旋仍自由

难点在于：\(N\) 个格点、每个格点都有相互作用，严格求解的代价随 \(N\) 指数增长。DMFT 给出的答案是——别去解整个晶格，把它换成一个杂质问题。

三、核心近似：自能只依赖频率

单粒子格林函数与自能的关系是

\[G(\mathbf{k}, i\omega_n) = \frac{1}{i\omega_n + \mu - \varepsilon_{\mathbf{k}} - \Sigma(\mathbf{k}, i\omega_n)}\]

一般情况下 \(\Sigma\) 既依赖动量 \(\mathbf{k}\) 又依赖频率 \(\omega\)，这是所有麻烦的来源。

DMFT 的核心近似只有一句话：

\[\Sigma(\mathbf{k}, i\omega_n) \approx \Sigma(i\omega_n)\]

即自能完全局域：只带频率依赖，不带动量依赖。

这个近似不是随手拍的。在无穷维极限 \(d \to \infty\)（等价地 \(z \to \infty\)，同时把跳跃积分按 \(1/\sqrt{z}\) 缩放以保持带宽有限）下，它是严格成立的：

任何包含非局域传播的自能图都会带上 \(1/z\) 或更高阶的因子，在 \(z \to \infty\) 时被压掉；
存活下来的只有"局域"的图，而它们的拓扑结构恰好与单杂质 Anderson 模型的图一一对应。

也就是说，无穷维晶格问题与一个杂质问题是严格等价的。这就是 DMFT 的立足点。

物理图像：把晶格中某个格点单独拎出来，它感受到的其余所有格点的效果，可以等效成一个介质（bath），二者之间的耦合由一个杂化函数 \(\Delta(i\omega_n)\) 描述。于是晶格问题被映射成单杂质 Anderson 模型：

\[H_{\mathrm{imp}} = \sum_{\sigma} \varepsilon_d \, n_{d\sigma} + U \, n_{d\uparrow} n_{d\downarrow} + \sum_{\mathbf{k}\sigma} \varepsilon_{\mathbf{k}} c^{\dagger}_{\mathbf{k}\sigma} c_{\mathbf{k}\sigma} + \sum_{\mathbf{k}\sigma} \left( V_{\mathbf{k}} c^{\dagger}_{\mathbf{k}\sigma} d_{\sigma} + \mathrm{h.c.} \right)\]

四、自洽循环

DMFT 的算法就是一个不动点迭代：给定一个自能猜测，走一圈再回来，直到输入与输出一致。

初始化：\(\Sigma(i\omega_n) = 0\)，或取 Hartree–Fock 的结果
算局域格林函数：对布里渊区求和，把 \(\mathbf{k}\) 积掉

\[G_{\mathrm{loc}}(i\omega_n) = \sum_{\mathbf{k}} \frac{1}{i\omega_n + \mu - \varepsilon_{\mathbf{k}} - \Sigma(i\omega_n)}\]

实际计算中通常用态密度做 Hilbert 变换，或直接在 \(\mathbf{k}\) 网格上求和
反解 bath 函数：要求"杂质感受到的环境"与"晶格给出的环境"一致

\[\mathcal{G}_0^{-1}(i\omega_n) = G_{\mathrm{loc}}^{-1}(i\omega_n) + \Sigma(i\omega_n)\]

\[\Delta(i\omega_n) = i\omega_n + \mu - \varepsilon_d - \mathcal{G}_0^{-1}(i\omega_n)\]
解杂质问题：把 \(\Delta\) 交给杂质求解器，算出新的杂质自能 \(\Sigma_{\mathrm{imp}}(i\omega_n)\)
判收敛：比较 \(\Sigma_{\mathrm{imp}}\) 与输入的 \(\Sigma\)。收敛就停；否则做混合（线性混合或 Broyden 方法）后回到第 2 步

整个循环的物理含义可以概括成一句对话：

晶格对杂质说："你周围的环境长这样。"（通过 \(\Delta\)）

杂质对晶格说："那我这么响应。"（通过 \(\Sigma\)）

反复对话，直到双方自洽：

\[G_{\mathrm{imp}}(i\omega_n) = G_{\mathrm{loc}}(i\omega_n) \qquad \Longleftrightarrow \qquad \Sigma_{\mathrm{imp}}(i\omega_n) = \Sigma(i\omega_n)\]

"平均场"这个词的来处就在这里——每个格点看到的只是其余格点的平均效果。但它与传统静态平均场（Hartree–Fock、Weiss 分子场）的关键区别是：这个"环境"带着完整的频率依赖，因此可以描述准粒子、Hubbard 带这些纯粹的动力学效应。所以叫动力学平均场。

五、杂质求解器

DMFT 的精度和能处理的温区，几乎完全取决于用什么去解杂质模型。

求解器	思路	优势	局限
ED 精确对角化	把连续 bath 离散成有限个格点	可到零温、直接得到实频结果	bath 离散化引入误差，格点数受限
CT-QMC 连续时间量子蒙特卡洛	对配分函数做随机级数展开并求和	无离散化误差、精度可控	有费米子符号问题；得到虚频数据，需解析延拓
NRG 数值重整化群	对 bath 做对数离散 + 迭代对角化	动力学范围极大，擅长低能物理	主要适合单带或少数轨道，多带代价高
NCA / OCA 自洽微扰	对杂质自能做图展开求和	便宜、直接给实频	低温下失效

目前多轨道体系里最常用的是 CT-HYB（杂化展开），它对包含 Hund 耦合的多轨道问题比较稳健，也是许多 DFT+DMFT 程序（TRIQS、w2dynamics、iQIST、ComDMFT 等）的默认选择。

绕不开的痛点：QMC 给出的是虚频轴上的 \(\Sigma(i\omega_n)\) 与 \(G(i\omega_n)\)，而实验关心的是实频谱函数

\[A(\omega) = -\frac{1}{\pi} \, \mathrm{Im} \, G(\omega)\]

从虚频到实频需要解析延拓——最大熵方法（MaxEnt）、随机解析延拓（Stochastic Analytic Continuation）或 Padé 近似。这本质上是一个病态反问题，也是 DMFT 结果不确定度的重要来源。

六、与 DFT 结合：DFT+DMFT

LDA 对电荷密度和晶体结构的描述其实相当可靠，真正出错的是关联效应的处理。所以最实用的路线是分工合作：

DFT 自洽计算，得到 Kohn–Sham 能带和波函数
挑出关联轨道（过渡金属的 \(d\)、稀土的 \(f\)），构造局域轨道（Wannier 函数）
投影得到低能有效多轨道 Hubbard 模型：跳跃参数 \(t_{ij}\) 来自 DFT，相互作用 \(U\)、\(J\) 通常用约束随机相近似（cRPA）计算，并小心处理与 LDA 的双重计数问题
对这个多轨道模型跑 DMFT
输出自能、谱函数、准粒子权重等物理量

它能算的东西：

谱函数 \(A(\mathbf{k}, \omega)\)：可以直接与 ARPES 对比，这也是 DFT+DMFT 最有说服力的地方
准粒子权重与质量增强：\(Z = \left[ 1 - \frac{\partial \, \mathrm{Im} \Sigma(\omega)}{\partial \omega} \right]^{-1}\)，有效质量 \(m^*/m = 1/Z\)
Mott 转变与轨道选择性 Mott 转变：多轨道体系中不同轨道在不同 \(U\) 下先后局域化
Hund 金属：由 Hund 耦合而非 Mott 机制驱动的坏金属行为
输运性质：电阻率、光学电导、热电效应

七、局限与扩展方向

DMFT 的软肋和它的核心近似是同一件事——忽略了非局域关联。

\(\Sigma(\mathbf{k}, \omega) \approx \Sigma(\omega)\) 在三维体系通常是不错的近似，但在低维（尤其二维）体系偏差明显。铜氧化物高温超导的 \(d\) 波关联就要求带 \(\mathbf{k}\) 依赖的自能。
团簇扩展是主要的两条路：
- CDMFT（团簇 DMFT）：把若干格点组成团簇整体嵌入介质，恢复短程空间关联
- DCA（动力学团簇近似）：在团簇动量空间上采样，能恢复部分 \(\mathbf{k}\) 依赖
其他方向：GW+DMFT、DMFT 加 \(1/z\) 修正、E-DMFT（处理长程库仑），以及与各种激发态方法的结合。

另外要注意 DMFT 是有限温方法：QMC 类求解器要求 \(T > 0\)，低温下计算代价急剧上升。

八、一句话总结

DMFT 用一个自洽嵌入的单杂质问题替代整个晶格：近似掉自能的动量依赖，但完整保留其频率依赖。它把"强关联"从解不动的高维多体问题，变成了能算的杂质问题，代价是牺牲了空间关联。